NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions.

प्रश्नावली 11.1

प्रश्न 1. एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल-
दिया है : AB एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु A है।
रचना करनी है : किरण AB के बिन्दु A पर 90° के कोण की।
विश्लेषण : हम 60° का कोण बना सकते हैं। इस कोण के साथ 60° को एक संलग्न कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करें और इसमें जोड़ दें तो 90° का कोण प्राप्त होगा।

रचना के पद :

1. सर्वप्रथम किरण AB खींची।
2.  बिन्दु A को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या का चाप । खींचा जो किरण AB को बिन्दु P पर काटता है।
3. अब P को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु Q पर काटता है।
   तब, ∠PAQ = 60°
4. पुनः Q को केन्द्र मानकर उसी (AP) त्रिज्या से एक अन्य चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु R पर काटता है।
   तब ∠QAR = 60°
5. अब, बिन्दु ९तथा R को केन्द्र मानकर चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु C पर काटते हैं। रेखाखण्ड CA खींचा। ∠CAQ = 30° है।
   इस प्रकार ∠CAB = 60° + 30° = 90°
   अत: ∠CAB अभीष्ट कोण है।

प्रश्न 2. एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल-
दिया है : OP एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु 0 है।
रचना करनी है : किरण OP के बिन्दु 0 पर 45° के कोण की।
विश्लेषण : 45° = x 90°
अतः 90° का कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करके 45° का कोण प्राप्त होगा।

रचना के पद :

1. सर्वप्रथम किरण OP खींची।
2. बिन्दु O को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या का एक चाप लगाया जो किरण OP को A पर काटता है।
3. पुनः A को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को B पर काटता है।
4. B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक अन्य चाप खींचा जो केन्द्र O वाले चाप को C पर काटता है।
5. अब, B तथा C को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु R पर काटते हैं। रेखाखण्ड OR खींचा जो चाप BC को D पर काटता है। तब, ∠POR = 90°
6. बिन्दुओं A तथा D को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के दो चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु Q पर काटते हैं। रेखाखण्ड OQ खींचा। ∠POQ = 45° क्योकि OQ ∠POR = 90° का समद्विभाजक है।
   अत: ∠POQ अभीष्ट कोण है।

प्रश्न 3. निम्नलिखित मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(i) 30°
(ii) 22°
(iii) 15°
हल-
(i) रचना करनी है : 30° के कोण की।
विश्लेषण : 30° = x 60°

रचना के पद :

1. एक किरण खींची।
2. किरण के अन्त्य बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर कोई त्रिज्या OB लेकर एक चाप लगाया।
3. अब B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से एक अन्य चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु C पर काटता है।
   तब, ∠AOC = 60°
4. ∠AOC का अर्धक (समद्विभाजक) OD खींचा।
   अत: ∠AOD = 30° जो कि अभीष्ट कोण है।

(ii) रचना करनी है : 22° के कोण की।
विश्लेषण : 90° के कोण का समद्विभाजक खींचने पर 45° का कोण प्राप्त होता है और इस 45° के कोण का समद्विभाजक खींचने पर 22°का कोण प्राप्त होगा।

रचना के पद :

1. एक किरण खींची।
2. किरण के अन्त्य बिन्दु O को केन्द्र मानकर OP त्रिज्या का एक चाप खींचा जो किरण को बिन्दु P पर काटता है।
3. P को केन्द्र मानकर OP त्रिज्या से एक चाप खींचा जो पहले चाप को Q पर काटता है।
4. Q को केन्द्र मानकर उसी OP त्रिज्या का चाप खींचा जो चाप PQ को R पर काटता है।
5. Q और R को केन्द्र मानकर चाप खींचे जो परस्पर T पर काटता है। रेखाखण्ड OT खींचा जो चाप PQR को S पर काटता है।
   तब, ∠AOT = 90°
6. ∠AOT का समद्विभाजक OC खींचा। तब ∠AOC = 45°
7. ∠AOC का समद्विभाजक OB खींचा।
   अत: ∠AOB = 22°जो कि अभीष्ट कोण है।

(iii) रचना करनी है : 15° के कोण की।
विश्लेषण : 60° के कोण का समद्विभाजक 30° का कोण बनाया। अब 30° के कोण का समद्विभाजक 15का कोण बनाया।

रचना के पद :

1. किरण के अन्त्य बिन्दु O से किरण पर ∠AOC = 60° इस प्रश्न के खण्डे (i) में वर्णित विधि से बनाया।
2. ∠AOC का समद्विभाजक OD खींचा। ∠AOD = 30° है।
3. अब ∠AOD का समद्विभाजक OE खींचा।
   तब ∠AOE = 15° जो कि अभीष्ट कोण है।

प्रश्न 4. निम्नलिखित कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
(i) 75°
(ii) 105°
(iii) 135°

प्रश्न 5. एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए।
हल-
दिया है : ‘समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC।
रचना करनी है : समबाहु त्रिभुज ABC की।

रचना के पद :

1. रेखाखण्ड BC दी गई माप का खींचा।
2. B तथा C को केन्द्र मानकर BC त्रिज्या के दो चाप लगाए जो परस्पर बिन्दु A पर काटते हैं।
3. रेखाखण्ड AB तथा AC को मिलाया। ∆ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

उपपत्ति : AB = BC और AC = BC
AB = BC = AC
त्रिभुज ABC समबाहु ही है।

प्रश्नावली 11.2

प्रश्न 1. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी हो।
हल-
दिया है : ∆ABC में BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ∆ABC की।

रचना के पद :

1. एक किरण BX खींचकर उसमें से रेखाखण्ड BC = 7.0 सेमी काटा।
2. BC के बिन्दु B से BC पर ∠CBY = 75° बनाया।
3. BY में से BD = 13 सेमी काटा।
4. CD को मिलाया और उसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जिसने BD को बिन्दु A पर काटा।
5. रेखाखण्ड AC खींचा।
   ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 सेमी हो।
हल-
दिया है: ABC एक त्रिभुज है जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° वे AB – AC = 3.5 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ∆ABC की।

रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 80 सेमी खींचा।
2. बिन्दु B से BC पर ∠XBC = 45° बनाया।
3. BX में से BD = 3.5 सेमी काटा।
4. CD को मिलाया।
5. CD को लम्ब समद्विभाजक खींचा जो बढ़ी हुई BD को A पर काटता है।
6. AC को मिलाया।
   ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3. एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए जिसमें QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 सेमी हो।
हल-
दिया है:  ∆PVR में, QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° भुजा PQ < PR और PR – PQ = 2 सेमी है।

रचना के पद :

1. रेखाखण्ड QR = 6 सेमी खींचा।
2. Q से QR पर ∠XQR = 60° बनाया।
3. XQ को आगे बढ़ाया और उसमें से QS = (PR – PQ) या 2 सेमी काट लिया।
4. SR को मिलाया।
5. SR का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OX को P पर काटता है।
6. रेखाखण्ड PR खींचा।
   अत: ∆PQR अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 4. एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 सेमी हो।
हल-
दिया है : ∆XYZ में, ∠Y = 30°, ∠Z = 90° है तथा XY + YZ + ZX = 11 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ∆XYZ की।
रचना के पद :

1. त्रिभुज के परिमाप (XY + YZ + ZX) = 11 सेमी के बराबर माप का रेखाखण्ड PQ खींचा।
2. P पर ∠RPQ = 30° व Q पर ∠SQP = 90° दिए हुए आधार कोण बनाए।
3. RPQ व ∠SQP के समद्विभाजक खींचे जो परस्पर शीर्ष X पर काटते हैं।
   
4. PX का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो PQ को Y पर काटता है।
5. QX का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो PQ को Z पर काटता है।
6. XY और XZ को मिलाया।
   अत: ∆XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 5. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार 12 सेमी और कर्ण व अन्य भुजा का योग 18 सेमी हो।
हल-
दिया है : समकोण ∆ABC में आधार BC = 12 सेमी, ∠C = 90° तथा कर्ण AB व एक अन्य। भुजा AC का योग 18 सेमी हो।
रचना करनी है : उपर्युक्त समकोण ∆ABC की।

रचना :

1. रेखाखण्ड BC = 12 सेमी खींचा।
2. बिन्दु C से BC पर ∠BCX = 90° बनाया।
3. CX में से CD = (AB + AC) = 18 सेमी काट लिया।
4. रेखाखण्ड BD खींचा।
5. BD का लम्ब समद्विभाजक खींचा जिसने CD को बिन्दु A पर काटा।
6. रेखाखण्ड AB खींचा।
   अत: ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।